【基本・応用情報】2・8・10・16進数間の基数変換(離散数学)

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初めに

こんにちは、情報系大学生のゆうき(@engieerblog_Yu)です。

今回から、基本・応用情報技術者試験や、情報系が大学で学ぶ内容についてまとめていきたいと思います。

今回は、2・8・10・16進数の基数変換について解説します。

2進数とは?

2進数とは、0と1の二つの数字のみを使って数を表そうとしたものです。

私たちが普段使っている10進数は0~9の数字を使って、数を表したものです。

なぜ2進数を考える必要があるのかというと、コンピュータは電気のON、OFFで動いているからです。

ON→1、OFF→0にあたります。(この最小単位をビット(bit)と呼びます。)

よってコンピュータの中身を理解するためには、2進数を理解することが必要です。

2進数で数を表すと以下のようになります。()は10進数です。

0(0)→1(1)→10(2)→11(3)→100(4)→101(5)→110(6)→111(7)→

本来なら2と書くべきところで繰り上がりを行う訳ですね。

2進数で表すことのできる数の範囲は、1桁あたり1ビットとなります。

つまり1桁→1ビット、2桁→2ビット、3桁→3ビットで表現することができます。

1ビットあたり0,1の2パターンがあるので、\(2^{桁数}\)通りの数が表せるわけです。

2進数とは、0と1の二つの数字のみを使って数を表そうとしたもの

2進数で表すことのできる数の範囲は、\(2^{桁数}\)通り

8進数と16進数について

8進数と16進数も2進数と考え方は同じです。

8進数は8個の数字で、16進数は16個の数字で表したものです。

\(8=2^{3} 16=2^{4}\)となることに気をつけると、以下が成り立ちます。

8進数の1桁が持つ情報量=2進数の3桁が持つ情報量

16進数の1桁が持つ情報量=2進数の4桁が持つ情報量

つまり、8進数が表すことができる数の範囲は、\(2^{3×桁数}\)、16進数が表すことができる数の範囲は、\(2^{4×桁数}\)となります。

8進数の1桁が持つ情報量=2進数の3桁が持つ情報量

16進数の1桁が持つ情報量=2進数の4桁が持つ情報量

8進数が表すことができる数の範囲→\(2^{3×桁数}\)

16進数が表すことができる数の範囲→\(2^{4×桁数}\)

バイトを表す数に16進数が使われる

バイトは8ビットを1単位とします。

つまり1バイトは、\(2^{8}\)通りの数を表すことができます。

ここで16進数で表せる数は、\(2^{4×桁数}\)ですので、1バイトは、二桁の16進数で表すことができます。

よって互換性があるので、バイトは16進数で表されることが多いです。

バイトは8ビットを1単位したもの

1バイトは、\(2^{8}\)通りの数を表すことができる

1バイトは、二桁の16進数で表せる

n進数→10進数の基数変換

n進数を10進数に直すためには、各桁の数に重みをかけて足し合わせます。

例えば、7進数の164を10進数に直したい場合、以下の計算を行います。

\(4×7^{0}+6×7^{1}+1×7^{2}\)

補足:小数点以下がある場合

7進数0.153は\(1×7^{-1}+5×7^{-2}+3×7^{-3}\)で10進数に変換できます。

10進数→n進数の基数変換

10進数をn進数に基数変換するためには、10進数の数をnで割っていった余りを下から見たものが答えとなります。

わかりにくいと思うので、例を挙げます。

13という10進数を2進数に変換していきます。

やり方は以下になります。

①13を2で割っていき、余りを右に書き出していく

②0になるまで①を繰り返す

③余りを下から上に見たものが2進数に基数変換したもの

今回の場合は1101(2進数)が答えとなります。

まとめ

2進数とは、0と1の二つの数字のみを使って数を表そうとしたもの

2進数で表すことのできる数の範囲は、\(2^{桁数}\)通り

8進数が表すことができる数の範囲→\(2^{3×桁数}\)

16進数が表すことができる数の範囲→\(2^{4×桁数}\)

1バイトは、二桁の16進数で表せる

今回は、2・8・10・16進数の基数変換について解説しました。

今回の内容は、情報技術者試験に含まれている内容になります。

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ゆうき
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最後まで読んでいただきありがとうございました。

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